Alle drei Kinder sind zusammen 39 Jahre alt, das Alter eines ersten von dem zweiten und dritten abgezogen, eins, und das Alter des zweiten abgezogen von den beiden anderen 11. Diese hübsche Aufgabe bei einem Kindergeburtstag stellen. Natürlich mit dem Alter Ihrer Lieben. Geht auch mit zwei, vier oder mehr Kindern, bei einem ist es etwas trivial. Die hermitesche Variante ist dann reizvoll. Für ein Kind nimmt man dann besser drei Gleichungen, dann hat man neben der reelen Lösung zwei imaginäre ( Stichwort Familienplanung, Kegel ).
Lösungsdauer 8 Stunden bis 80 Jahre. Zeit für die Eltern Versäumtes nachzuholen.
Wie alt sind meine Kinder X =( x1, x2, x3 ) ?
Eigenvektor:
Gleichungssystem:
1 1 1 39
-1 1 1 1
1 -1 1 11
Umformen und sortieren (Variablen alphabetisch links, Konstanten rechts):
Matrize
Stelle die Koeffizientenmatrix auf. Reihenfolge der Variablen: , , , Konstante
1 1 1 39
- 1 1 1 1
1 - 1 1 11
Das Diagonalenfeld der 1. Zeile ist bereits 1.
Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird die 1. Zeile addiert:
1 1 1 39
0 2 2 40
1 - 1 1 11
Zur 3. Zeile wird das -1fache der 1. Zeile addiert:
1 1 1 39
0 2 2 40
0 - 2 0 - 28
Durch Division der 2. Zeile durch 2 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 1 1 39
0 1 1 20
0 - 2 0 - 28
Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 1. Zeile wird das -1fache der 2. Zeile addiert:
1 0 0 19
0 1 1 20
0 - 2 0 - 28
Zur 3. Zeile wird das 2fache der 2. Zeile addiert:
1 0 0 19
0 1 1 20
0 0 2 12
Durch Division der 3. Zeile durch 2 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht:
1 0 0 19
0 1 1 20
0 0 1 6
Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht.
Zur 2. Zeile wird das -1fache der 3. Zeile addiert:
1 0 0 19
0 1 0 14
0 0 1 6
In der letzten Spalte stehen die Lösungen.
(Danke! ) arndt-bruenner.de gleichungssysteme
Gleichungssystem:
x + y + z = 39
-x + y + z = 1
x - y + z = 11
Die Gleichungen werden so umgeformt und untereinander geschrieben, daß alle gleichen Variablen
auf der linken Seite der Gleichung untereinander stehen und die konstanten Zahlen
auf der rechten Seite.
x + y + z = 39
- x + y + z = 1
x - y + z = 11
In der 1. Gleichung steht x bereits ohne Faktor.
Mit der 1. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit x eliminiert.
Zur 2. Gleichung wird die 1. Gleichung addiert:
x + y + z = 39
2·y + 2·z = 40
x - y + z = 11
Zur 3. Gleichung wird das -1fache der 1. Gleichung addiert:
x + y + z = 39
2·y + 2·z = 40
- 2·y = - 28
Durch Division der 2. Gleichung durch 2 wird der Faktor vor y eliminiert:
x + y + z = 39
y + z = 20
- 2·y = - 28
Mit der 2. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit y eliminiert.
Zur 1. Gleichung wird das -1fache der 2. Gleichung addiert:
x = 19
y + z = 20
- 2·y = - 28
Zur 3. Gleichung wird das 2fache der 2. Gleichung addiert:
x = 19
y + z = 20
2·z = 12
Durch Division der 3. Gleichung durch 2 wird der Faktor vor z eliminiert:
x = 19
y + z = 20
z = 6
Mit der 3. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit z eliminiert.
Zur 2. Gleichung wird das -1fache der 3. Gleichung addiert:
x = 19
y = 14
z = 6
Gauß-Jordan
POLYNOM
www.rechneronline.de
https://rechneronline.de/function-graphs/
Das Folgende kopieren und unten einfügen:
a0=2&a1=-0.05 *( x^3 - 39 * x^2 + 464 * x - 1596 )&a2=&a3=&a4=30&a5=4&a6=8&a7=1&a8=1&a9=1&b0=500&b1=500&b2=0&b3=20&b4=-8&b5=20&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=14&e5=14&e6=13&e7=12&e8=0&e9=0&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=a0b0c0&g9=6080a0&h0=1&z
 |
| Man beachte die Nullstellen! |
Eigenwert; charakteristisches Polynom
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm
charakteristisches Polynom:
-x^3 + 3x^2 - 4x + 4
reelle Eigenwerte: { 2 }
komplexe Eigenwerte: { 0,5-1,3228756555322954î ; 0,5+1,3228756555322954î }
Eigenvektoren:
zum Eigenwert 0,5-1,3228756555322954î:
[ -2 ; -1+2,6457513110645907î ; 2 ]
zum Eigenwert 0,5+1,3228756555322954î:
[ -2 ; -1-2,6457513110645907î ; 2 ]
zum Eigenwert 2:
[ 1 ; 0 ; 1 ]
Alle Proben OK
Und umgekehrt:
2 1 0 1
0,5-1,3228756555322954î -2 -1+2,6457513110645907î 2 0,5+1,3228756555322954î -2 -1-2,6457513110645907î 2
ergibt
1 1 1 -1 1 1
1 -1 1 Proben:
- Eigenvektor/-wert: |(M-eE)v| = 0 (OK)
EV: [ 1 ; 0 ; 1 ]
- Eigenvektor/-wert: |(M-eE)v| = 0 (OK)
EV: [ -2 ; -1+2,6457513110645907î ; 2 ]
- Eigenvektor/-wert: |(M-eE)v| = 0 (OK)
EV: [ -2 ; -1-2,6457513110645907î ; 2 ]
https://matrixcalc.org/de/
Oder gleich als Differentialgleichung.
Der Gradient steht noch aus!
Soweit der Rezensent als Nichtfachmann sieht, bedeutet das :
Wie ich vielleicht schon einmal schrieb vermarkte ich das Buch Physik unter Verwendung des Virialsatzes.
Darin wird eine antihermitesche Matrix zur Lösung eines Koordinatenübergangs ( bei invarianten Transformationen) benutzt, für den Heisenberg, Born, Jordan eine unendliche Matrix gewählt hatten, mit der das nicht ging.
Hier : Anti = schief-
Was ist anti(h)ermit()sch?
Dabei fiel mir zweierlei auf : schiefsymmetrisch ist umgangssprachlich ein widersinniger Begriff, mathematisch aber völlig klar (aber nicht erlaubt). ( Und mit einer Negation erfüllt. )
{
Schiefselbstadjungiert =
engl. Skew self adjugated, adjoint, adjunct. Die sagen transposed.
}
Allerdings eiert die Literatur mit schiefhermitesch rum :
schiefselbstadjungiert beschreibt die Symmetrie gut und ist ungebräuchlich, und das moderne Lehrbuch führt ein : Konjugiert symmetrisch, also in meinem Fall schief konjugiert symmetrisch. Seltsam oder .
Der zweite Punkt . Die Unendlichkeit : Die unendliche Lösungsmatrix hat eine verschwindende Spur. Eine in der Hauptdiagonalen schiefsymmterische im Endlichen aber auch schon ( Heisenberg kannte Matrizen zunächst nicht (1. Arbeit), weshalb ich für den unendlichQuatsch Born und Jordan verantwortlich vermute. (folgende Arbeit) ) :
a11 = -a22, etc. ( und dann a imaginär ... )
Die Unendlichkeit kommt aber durch den Beweis des iterativen Jacobi- oder Ganzschrittsverfahrens ins Spiel, hat rechnerisch erstmal keine Bedeutung ( Man kann das Restglied abschätzen ). Es gibt dann auch ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Hauptachsentransformation, das auch konvergiert, wenn die Indizes bis unendlich laufen.
Soweit meine etwas seltsame Entdeckung eines Dilettanten.
Die Eigenwerttheorie führt bei nicht so elementaren Problemen dann auf eine unendliche konvergente Matrix. Es gibt ein Iterationsverfahren (Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure II, Finkenstein Lehn Schellhaas, Wegmann) von Jacobi zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das konvergiert, nach n gleich unendlich vielen Schritten. Ebenso gibt es eines zur näherungsweisen Hauptachsentransformation, Aha : Hamilton -Jaocobi Invarianz der Koordinatentransformation, ein Jacobi-verfahren ( Falko Lorenz lineare Algebra II ). Und auf jeden Fall bietet sie eine Restgliedabschätzung, die dann den Abbruch bei genügend hoher Genauigkeit vorsieht. Nach Jacobis Verfahren dem Ganzschrittverfahren. Eine unendliche Matrix spielt also konkret keine Rolle sondern entstammt der Beweistechnik.
Die (Schief-)Symmetrie hat nicht einmal einen guten Namen:
Schiefsymmetrisch ist an sich ein unsinniger Begriff, er ist mathematisch aber klar.
Die hier behandelten Matrizen, die wie auch immer berechnet werden, sind antihermitesch, also schiefselbstadjungiert, was Lorenz dann auch nicht so nennt, sondern (komplex) konjugiert symmetrisch, aus lauter Verlegenheit mit seinen Endomorophismen. Das macht es mit anti-hermite'sch auch nicht besser : schief konjugiert symmetrisch. ( Falko Lorenz Lineare Algebra II Seite 103 )
Letztendlich hat das etwas mit Orthogonalität, und Normierbarkeit zu tun, beziehungsweise mit kovariantem und kontravariantem Maß.
Und der Rezensent ist ein wenig stolz herauszufinden, was Wulff nicht wusste, dasz das der Zusammenhang mit Heisenberg, Born, Jordans unendlicher Matrix sein wird.
( Rothe Mathematik für Ingeieure Band II und III ist sehr hilfreich und konkret.( Eigenwerte etc. ))
Ich nehme Bestellungen für Ihren Kindergeburtstag entgegen.
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